Movimientos básicos en R-espacios simétricos y holonomía de Cartan

Mg. Daniela Emmanuele
emman@fceia.unr.edu.ar

El presente proyecto se propone parcialmente como continuación de un proyecto anterior y se plantean dos problemas relacionados: 1) El estudio de los movimientos básicos en R-espacios simétricos; 2) El estudio de la holonomía de la Conexión de Cartan asociada a una variedad Riemanniana. Respecto del primer problema, un R-espacio simétrico es un espacio simétrico compacto que admite la acción de un grupo de Lie estrictamente más grande que su grupo de isometrías (Negano, 1965). Estas son las denominadas transformaciones básicas. Por ejemplo, sobre la grassmanniana M de k-planos orientados en Rⁿ actúa el grupo Sl(n,R). Mientras que para la estructura riemanniana canónica de M, la componente conexa de la identidad del grupo de isometrías es genéricamente SO(n). Sobre M = SO(n) actúa G = SOo(n,n) como sigue: g en G lleva el gráfico de T en M al gráfico de otro elemento de M. Con la métrica riemanniana canónica, la componente conexa de la identidad del grupo de isometrías es SO(n)×SO(n) (salvo un cubrimiento finito). Nuestro objetivo es intentar generalizar a R-espacios simétricos, algunos resultados sobre los denominados movimientos libres de fuerza. Si M una variedad riemanniana compacta y G es un grupo que actúa de manera suave y casi efectiva en M, cada g en G puede pensarse entonces como un difeomorfismo de M. Esto lleva a definir un G-movimiento de M como una curva suave c en G. Supongamos que M tiene inicialmente una distribución uniforme de masa, y que a las partículas se les permite moverse sólo de tal manera que dos configuraciones difieran en una transformación de G. Se define la energía E(t) de un movimiento c en el instante t generalizando el caso discreto (suma de las energías cinéticas de cada partícula): En un continuo, se integra sobre M en vez de sumar, y la masa se introduce a través del elemento de volumen de M y una función densidad (que puede variar con el tiempo, ya que los movimientos no son necesariamente rígidos). Un movimiento c se dice libre de fuerza si es un punto crítico del funcional energía. En Salvai (2002) se han descripto los movimientos conformes libres de fuerza (y también los proyectivos libres de fuerza (Lazarte, Salvi y Will, 2007)) de la esfera. En Emmanuele y Salvai (2012), como parte del proyecto al que se pretende dar continuidad, se han estudiado los movimientos de Möbius libres de fuerza de la esfera. Respecto del segundo punto, toda variedad Riemanniana M tiene una conexión natural asociada, la denominada conexión de Levi Civita. Desde el punto de vista de la geometría de Cartan, esta conexión tiene asociada una conexión de Cartan (cf. Cap y Slovák (2009)), que no es más que la conexión afín canónica descrita en Kobayashi y Nomizu (1969). Para el caso de la conexión de Levi Civita, los grupos de holonomía han sido ampliamente estudiados y clasificados por Berger en 1955. Sin embargo, poco se sabe de la holonomía de su conexión de Cartan asociada. 

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